【为什么sin135度等于sin45度】在三角函数的学习中，常常会遇到一些角度的正弦值看起来“奇怪”却实际上相等的情况。例如，很多人会疑惑：“为什么sin135度等于sin45度？”其实，这背后涉及到三角函数的周期性、对称性和单位圆的概念。
一、基本概念回顾
- 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦是“对边与斜边”的比值；在单位圆中，sinθ 表示的是点在y轴上的坐标。
- 角度范围：通常我们讨论的角度范围是0°到360°，而135°属于第二象限，45°属于第一象限。
二、为什么sin135°等于sin45°？
1. 单位圆中的位置
- 45°位于第一象限，对应点为（√2/2, √2/2）
- 135°位于第二象限，对应点为（-√2/2, √2/2）
两者的y坐标相同，都是√2/2，因此它们的正弦值也相同。
2. 诱导公式
根据三角函数的诱导公式：
$$
\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta
$$
所以：
$$
\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ)
$$
3. 对称性
在单位圆中，135°是相对于y轴对称于45°的角，因此它们的正弦值相同，但余弦值相反。
三、总结对比表
| 角度 | 所在象限 | sin值 | cos值 | 特点说明 |
| 45° | 第一象限 | √2/2 | √2/2 | 常见角度，正弦和余弦相等 |
| 135° | 第二象限 | √2/2 | -√2/2 | 与45°关于y轴对称，sin相同 |
四、常见误区
- 有人可能会误以为“角度越大，sin值越大”，但实际上sin值取决于角的位置和单位圆上的坐标。
- 135°虽然比45°大，但由于它位于第二象限，其cos值为负，而sin值仍保持正值且与45°相同。
五、实际应用
了解这种关系有助于简化计算，比如在物理、工程、建筑等领域中，经常需要处理不同象限中的角度问题。掌握这些规律可以更快地判断和计算三角函数的值。
通过以上分析可以看出，sin135°等于sin45°并不是巧合，而是由三角函数的对称性和单位圆的几何性质决定的。理解这一点有助于更深入地掌握三角函数的基本原理。