【已知数列an的前n项和sn求通项公式】在数列的学习中，我们经常会遇到这样的问题：已知数列{aₙ}的前n项和Sₙ，如何求出该数列的通项公式aₙ？这是一个常见的数学问题，掌握其解题思路对于理解数列的性质和应用具有重要意义。
一般来说，若已知Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ，则可以通过以下方法求得通项公式aₙ：
一、基本思路
1. 当n ≥ 2时，通项aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁
2. 当n = 1时，a₁ = S₁
3. 验证通项公式是否适用于所有n（尤其是n=1），确保公式的统一性
二、典型例题与解法对比
| 题目 | 已知Sₙ | 求aₙ | 解题过程 |
| 1 | Sₙ = n² | aₙ = ? | 当n≥2时，aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ = n² - (n-1)² = 2n - 1；当n=1时，a₁ = S₁ = 1。因此，aₙ = 2n - 1 |
| 2 | Sₙ = 2ⁿ - 1 | aₙ = ? | 当n≥2时，aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ = (2ⁿ - 1) - (2ⁿ⁻¹ - 1) = 2ⁿ - 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ⁻¹；当n=1时，a₁ = S₁ = 1。因此，aₙ = 2ⁿ⁻¹ |
| 3 | Sₙ = n(n+1)/2 | aₙ = ? | 当n≥2时，aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ = [n(n+1)/2] - [(n-1)n/2] = n；当n=1时，a₁ = 1。因此，aₙ = n |
| 4 | Sₙ = 3n² + 2n | aₙ = ? | 当n≥2时，aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ = [3n² + 2n] - [3(n-1)² + 2(n-1)] = 6n - 1；当n=1时，a₁ = 5。因此，aₙ = 6n - 1 |
三、注意事项
- 在计算aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁时，需注意n的取值范围，通常是从2开始。
- 对于n=1的情况，应单独计算并验证是否与后续公式一致。
- 若通项公式对n=1不适用，说明需要分段表达或调整公式。
- 实际应用中，可能还需要结合等差数列、等比数列或其他特殊数列的特性进行分析。
四、总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 计算a₁ = S₁ |
| 2 | 对于n ≥ 2，使用aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ |
| 3 | 验证通项公式是否统一 |
| 4 | 若不统一，需分情况讨论 |
通过上述方法，可以系统地从数列的前n项和Sₙ出发，推导出通项公式aₙ，是解决数列问题的重要技巧之一。掌握这一方法有助于提高解题效率和逻辑思维能力。