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xlnx导数怎么得的

2025-07-09 13:34:11

问题描述:

xlnx导数怎么得的,有没有大佬愿意点拨一下?求帮忙!

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2025-07-09 13:34:11

xlnx导数怎么得的】在微积分中,求函数的导数是一个基础且重要的内容。对于函数 $ f(x) = x \ln x $,它的导数可以通过乘积法则来求解。下面我们将详细总结这一过程,并以表格形式清晰展示关键步骤和公式。

一、导数的基本概念

导数是描述函数在某一点处变化率的概念。对于函数 $ f(x) $,其导数记作 $ f'(x) $ 或 $ \frac{df}{dx} $,表示函数值随自变量变化的速度。

二、函数 $ f(x) = x \ln x $ 的导数推导

该函数由两个部分组成:$ x $ 和 $ \ln x $,因此需要用到乘积法则:

> 乘积法则:若 $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $,则

> $$

> f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

> $$

我们设:

- $ u(x) = x $

- $ v(x) = \ln x $

分别求导:

- $ u'(x) = 1 $

- $ v'(x) = \frac{1}{x} $

代入乘积法则:

$$

f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}

$$

化简:

$$

f'(x) = \ln x + 1

$$

三、总结与关键点对比

步骤 内容 说明
1 函数形式 $ f(x) = x \ln x $
2 使用法则 乘积法则(适用于两个函数相乘)
3 分解函数 $ u(x) = x $, $ v(x) = \ln x $
4 求导结果 $ u'(x) = 1 $, $ v'(x) = \frac{1}{x} $
5 应用乘积法则 $ f'(x) = u'v + uv' $
6 代入计算 $ f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} $
7 化简结果 $ f'(x) = \ln x + 1 $

四、结论

通过使用乘积法则并正确应用基本导数公式,我们可以得出函数 $ f(x) = x \ln x $ 的导数为:

$$

f'(x) = \ln x + 1

$$

这个结果在数学分析、物理建模以及工程计算中都有广泛应用,特别是在处理对数增长或衰减的问题时非常常见。

如需进一步理解其他函数的导数,可以继续探索如 $ \ln x $、$ e^x $、$ x^n $ 等函数的导数规则。

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