【xlnx导数怎么得的】在微积分中，求函数的导数是一个基础且重要的内容。对于函数 $ f(x) = x \ln x $，它的导数可以通过乘积法则来求解。下面我们将详细总结这一过程，并以表格形式清晰展示关键步骤和公式。
一、导数的基本概念
导数是描述函数在某一点处变化率的概念。对于函数 $ f(x) $，其导数记作 $ f'(x) $ 或 $ \frac{df}{dx} $，表示函数值随自变量变化的速度。
二、函数 $ f(x) = x \ln x $ 的导数推导
该函数由两个部分组成：$ x $ 和 $ \ln x $，因此需要用到乘积法则：
> 乘积法则：若 $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $，则
> $$
> f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
> $$
我们设：
- $ u(x) = x $
- $ v(x) = \ln x $
分别求导：
- $ u'(x) = 1 $
- $ v'(x) = \frac{1}{x} $
代入乘积法则：
$$
f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}
$$
化简：
$$
f'(x) = \ln x + 1
$$
三、总结与关键点对比
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 函数形式 | $ f(x) = x \ln x $ |
| 2 | 使用法则 | 乘积法则（适用于两个函数相乘） |
| 3 | 分解函数 | $ u(x) = x $, $ v(x) = \ln x $ |
| 4 | 求导结果 | $ u'(x) = 1 $, $ v'(x) = \frac{1}{x} $ |
| 5 | 应用乘积法则 | $ f'(x) = u'v + uv' $ |
| 6 | 代入计算 | $ f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} $ |
| 7 | 化简结果 | $ f'(x) = \ln x + 1 $ |
四、结论
通过使用乘积法则并正确应用基本导数公式，我们可以得出函数 $ f(x) = x \ln x $ 的导数为：
$$
f'(x) = \ln x + 1
$$
这个结果在数学分析、物理建模以及工程计算中都有广泛应用，特别是在处理对数增长或衰减的问题时非常常见。
如需进一步理解其他函数的导数，可以继续探索如 $ \ln x $、$ e^x $、$ x^n $ 等函数的导数规则。