【arcsinx等于什么】在数学中，arcsinx 是 sinx 的反函数，也称为反正弦函数。它用于求解一个角度，使得该角度的正弦值等于给定的数值。在实际应用中，arcsinx 经常出现在三角函数、微积分和工程计算中。
为了更清晰地理解 arcsinx 的定义和性质，以下是对它的总结，并通过表格形式展示其关键信息。
一、arcsinx 的基本定义
- 定义：对于任意实数 $ x \in [-1, 1] $，有
$$
y = \arcsin x \quad \text{当且仅当} \quad \sin y = x \quad \text{且} \quad y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right
$$
- 值域：$ y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $
- 定义域：$ x \in [-1, 1] $
二、常见值与对应角度（弧度制）
| x 值 | arcsinx 的值（弧度） | arcsinx 的值（角度） |
| -1 | -π/2 | -90° |
| -√3/2 | -π/3 | -60° |
| -√2/2 | -π/4 | -45° |
| -1/2 | -π/6 | -30° |
| 0 | 0 | 0° |
| 1/2 | π/6 | 30° |
| √2/2 | π/4 | 45° |
| √3/2 | π/3 | 60° |
| 1 | π/2 | 90° |
三、arcsinx 的一些重要性质
| 性质 | 内容 |
| 反函数关系 | $ \sin(\arcsin x) = x $，当 $ x \in [-1, 1] $ |
| 单调性 | 在定义域内单调递增 |
| 奇函数 | $ \arcsin(-x) = -\arcsin x $ |
| 导数 | $ \frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $，当 $ x \in (-1, 1) $ |
四、注意事项
- 定义域限制：由于正弦函数在 $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ 区间内是单调的，因此这个区间被选为 arcsinx 的值域。
- 不可用于超出范围的值：如果输入的 $ x $ 超出 $ [-1, 1] $，则 arcsinx 无定义。
- 与 sinx 的区别：$ \arcsin x $ 不是 $ \frac{1}{\sin x} $，而是它的反函数。
总结
arcsinx 是正弦函数的反函数，用于求取某个角度的正弦值为给定数值时的角度值。它在数学和科学领域有着广泛的应用，尤其是在涉及三角函数和逆函数的计算中。通过了解其定义、值域、常见值以及相关性质，可以更好地理解和使用这一重要的数学工具。
如需进一步探讨 arcsinx 在微积分或物理中的应用，可继续深入学习相关内容。