斯托克斯公式的方向与正负（斯托克斯公式）

大家好，我是小跳，我来为大家解答以上问题。斯托克斯公式的方向与正负，斯托克斯公式很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1、我不知道你想问什么，因为所有积分的值都与坐标系无关，那是因为有所谓的“微分的形式不变性”，或者讲“换元法”。换元法说的就是一个坐标内的积分，可以在另一个（微分等价的）坐标内来做。

2、而旋度也是与坐标无关的定义，虽然在有坐标的时候，它按照坐标来定义，但是不管你怎么定义，对E^3的向量场X，设和它对偶的一次形式场为w，也就是w(Y) = ，dw是二次形式场，设Z是和*dw(*是Hodge star operator)对偶的那个向量场，那么Z就是X的旋度。你可以验证下这个定义和一般基于坐标的定义一致，并且满足上面给的方程（实际上上面给的方程也用来定义旋度）。这些定义都是不依赖于坐标的，也就是说，旋度是几何量。 不知道这是不是你要问的。 更具体一点： 设 w 是 与 F 对偶的一次形式场，用 int_C 记在封闭路径 C 上的线积分，int_S 是在曲面 S 上的面积分。ds 是 C 上的线元，dS 是 S 上的面元。i : C -> E^3 是包含映射, i^*是回拉。T 是 C 上的单位切向量，n 是 S 上的单位外法向量。 那么左边 int_C = int_C < F, T*ds> = int_C ds = int_C w(T) ds 注意到 (i^*)(w)(T) = w(T) = w(T)*ds(T) 所以 (i^*)(w) = w(T)ds 这个式子说，w 在 C 上的限制，等于w(T)ds 所以上面的积分 int_C w(T) ds = int_C (i^*)(w) （由 Stokes 公式） = int_S dw 记 curlF 是 F 的旋度，则 = (*dw)(n) 对任意S上一点的单位正交切向量X, Y, dS(X,Y)=1 所以 dS ( X,Y) = = (*dw)(n) = dw(X, Y) 所以 dS = dw 所以上面的积分等于右边。

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。

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