【三角函数求导公式】在微积分中，三角函数的导数是基础且重要的内容。掌握这些公式不仅有助于理解函数的变化率，还能在解决实际问题时提供便利。本文将对常见的三角函数求导公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本三角函数的导数
以下是常见三角函数及其导数的基本公式：
| 函数表达式 | 导数 |
| $ \frac{d}{dx} \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \frac{d}{dx} \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ \frac{d}{dx} \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ \frac{d}{dx} \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
| $ \frac{d}{dx} \sec x $ | $ \sec x \tan x $ |
| $ \frac{d}{dx} \csc x $ | $ -\csc x \cot x $ |
二、复合函数的导数（链式法则）
当三角函数作为复合函数的一部分时，需要使用链式法则来求导。例如：
- 若 $ y = \sin(u) $，其中 $ u = u(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx}
$$
- 若 $ y = \cos(u) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = -\sin(u) \cdot \frac{du}{dx}
$$
类似地，其他三角函数的导数也遵循这一规则。
三、反三角函数的导数
除了基本三角函数外，其反函数的导数也常被用到：
| 函数表达式 | 导数 | ||
| $ \frac{d}{dx} \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ \frac{d}{dx} \arccos x $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ \frac{d}{dx} \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ \frac{d}{dx} \text{arccot } x $ | $ -\frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ \frac{d}{dx} \text{arcsec } x $ | $ \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| $ \frac{d}{dx} \text{arccsc } x $ | $ -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
四、应用与注意事项
1. 角度单位：在计算导数时，必须确保角度单位为弧度（radian），否则结果不准确。
2. 链式法则的应用：对于复杂的复合函数，需多次应用链式法则。
3. 符号的注意：如 $ \cos x $ 的导数为 $ -\sin x $，容易混淆，需特别注意正负号。
通过以上总结，我们可以更系统地掌握三角函数的求导方法，为后续学习微分方程、物理建模等打下坚实的基础。